Question

【題目】如圖：兩個等邊三角形△ABD與△BCE，連結AE與CD，

求證：（1）AE=CD;

（2）AE與DC之間的夾角為60°;

（3）AE與CD的交點設為H,BH平分∠AHC.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，易證△BCD≌△BEA，即可證得AE=CD；

（2）延長AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，根據“8” 字形即可證明；

（3）過B作BM⊥CD于點M,過B作BN⊥AH于點N,證明△AMN≌△DBM，得出 BM=BN,即可通過角平分線的判定證明.

(1)∵等邊三角形ABD和等邊三角形BCE

∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,BE=BC，∠ABD-∠EBD=∠CBE-∠EBD,即∠ABE=∠DBC，

∴△BCD≌△BEA,

∴AE=DC

(2)延長AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，

∵△BCD≌△BEA,

∴∠HDO=∠OAB,

又∵∠DOH=∠AOB,根據三角形內角和是180°，

∴∠DHO=∠ABO=60°

(3)過B作BM⊥CD交CD的延長線于點M,過B作BN⊥AH于點N,

∴∠BNA=∠BMD=90°，

∵△BCD≌△BEA,

∴AB=DB, ∠BAN=∠BDM

∴△AMN≌△DBM

∴BM=BN,

∴BH平分∠AHC.