Question

【題目】已知：在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑作 ，交BC于點D，交AC于E，過點E作切線EF，交BC于F．

（1）求證：EF⊥BC；

（2）若CD=2，tanC=2，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5.

【解析】

（1）連接OE，BE，由已知條件易得點E是AC的中點，點O是AB的中點，由此可得OE∥BC，結合EF⊥OE即可得到EF⊥BC；

（2）連接AD，由已知易得∠ADB=∠ADC=90°，結合CD=2，tanC=2，可得AD=4，設AB=x，則由已知可得BD=x-2，然后再Rt△ABD中由勾股定理建立關于x的方程，解方程即可求得AB的值，由此即可得到的半徑的值.

（1）如下圖，連結BE，OE．

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°．

又∵AB=BC，

∴點E是AC的中點．

∵點O是AB的中點，

∴OE∥BC．

∵EF是的切線，

∴EF⊥OE．

∴EF⊥BC．

（2）如上圖，連結AD．

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵CD=2，tanC=2，

∴AD=4．

設AB=x，則BD=x﹣2．

∵AB2=AD2+BD2，

∴．

解得x=5．即AB=5．