Question

（2011•黃岡模擬）直角梯形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長得速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形時(shí)等腰三角形？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ恰為B、C兩點(diǎn)的拋物線的對稱軸？若不存在，能否改變其中一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，使某一時(shí)刻直線PQ是過B、C兩點(diǎn)的拋物線的對稱軸，并求出改變后的速度．
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N，則四邊形PDCN為矩形，根據(jù)梯形的面積公式就可以利用t表示，就得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根據(jù)勾股定理，就得到一個(gè)關(guān)于t的方程，就可以求出t．
（3）根據(jù)分別改變P的速度，Q的速度不變，以及改變Q的速度，P的速度不變分別得出即可．
（4）首先假設(shè)存在，然后再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．

解答：解：（1）S=

1

2

×12×t=6t，（0＜t≤16）；

（2）由題意得：B（16，0），P（2t，12），Q（16-t，0），
∴BP=

(2t-16)2+144

，BQ=t，PQ=

(3t-16)2+144

，
①當(dāng)BP=BQ時(shí)，

(2t-16)2+144

=t，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)BP=PQ時(shí)，

(2t-16)2+144

=

(3t-16)2+144

，
解得：t₁=

32

5

，t₂=0，
但當(dāng)t=0時(shí)，B，Q兩點(diǎn)重合，故t=

32

5

；
③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，

(3t-16)2+144

=t，此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根；
綜上所述，當(dāng)t=

32

5

秒時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；

（3）不存在某一時(shí)刻t，使直線PQ恰為過B，C兩點(diǎn)的拋物線的對稱軸，
若改變P的速度，Q的速度不變．則CQ=BQ=8，Q點(diǎn)要遠(yuǎn)動(dòng)8秒，此時(shí)DP=8，
故P的速度應(yīng)該為

8

8

=1個(gè)單位/秒，
若改變Q的速度，P的速度不變．則DP=4，P點(diǎn)要遠(yuǎn)動(dòng)4秒，此時(shí)QC=8=BQ，
故Q的速度應(yīng)該為

8

4

=2個(gè)單位/秒，
因此，當(dāng)P的速度改為1個(gè)單位/秒或Q的速度改為2個(gè)單位/秒時(shí)，直線PQ是過B，C兩點(diǎn)的拋物線的對稱軸；

（4）存在，
若PQ⊥BD，則∠DPQ=∠BDC，而tan∠BDC=

16

12

=

4

3

，
∴tan∠DPQ=

4

3

，
過Q作QM⊥DA于M，則QM=CD=12，PM=PD-OQ=2t-（16-t）=3t-16，
又tan∠DPQ=

QM

MP

=

12

MP

，
∴

4

3

=

12

3t-16

，
解得：t=

25

3

，
∴t=

25

3

秒時(shí)，PQ⊥BD．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及直角梯形的問題，通過作高線可以轉(zhuǎn)化為直角三角形與矩形的問題．并且要理解以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，應(yīng)分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三種情況進(jìn)行討論是解題關(guān)鍵．