Question

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結BP. 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P,連結AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F.

 

      （1） 如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在       關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設∠ABP=β . 當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合. 已知AB=4，設DP=x，△A₁BB₁的面

積為S，求S關于x的函數關系式.

 

Answer 1

【答案】

（1） 相似。理由見解析（2）存在，α=2β+60°（3）

【解析】解: （1） 相似   …………………………………………………………1分

由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P  BP=B₁P

               則  ∠PAA₁ =∠PBB₁ = ……………………………2分

                 ∵∠PBB₁ =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF

     又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP………………………………………………………3分

（2）存在，理由如下： ………………………………………………………4分

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可 …………………5分

∴∠BAE=∠ABE

         ∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE     ………………………………6分

∴ 即α=2β+60°     ………………………………7分

（3）連結BD，交A₁B₁于點G，

過點A₁作A₁H⊥AC于點H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

             由題意得：AP= A₁ P   ∠A=60°

             ∴△PAA₁是等邊三角形

∴A₁H= ………………………8分

在Rt△ABD中，BD=

             ∴BG=……………………………… 9分

∴ （0≤x＜2）………………10分

（1）通過三角形的相似性求證

（2）由（1）得△BEF ∽△AEP，若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE，即∠BAE=∠ABE，求得∠BAE的度數的表示，即可求出α與β之間的數量關系

（3）連結BD，交A₁B₁于點G，過點A₁作A₁H⊥AC于點H. 由已知求得△PAA₁是等邊三角形，在Rt△ABD中，求得BG的長，從而通過三角形的面積，即可求得S關于x的函數關系式