Question

設a、b、c、d都是自然數，且a⁵=b⁴，c³=d²，a-c=17，求d-b的值．

Answer 1

分析：設a⁵=b⁴=m²⁰，c³=d²=n⁶，這樣a、b可用m的式子表示．c、d可用n的式子表示，減少字母的個數，降低問題的難度．

解答：解：首先可以這樣考慮，a⁵=b⁴，可知a必為一個4次方的數，b為5次方的數，
c³=d²，c為2次方的數，d為3次方的數，
設a=m⁵，b=m⁴，c=n³，d=n²，
a-c=17，即（m²+n）（m²-n）=17，
∵17是質數．m²+n，m²-n是自然數，m²+n＞m²-n，
∴m²+n=17，m²-n=1，
∴m=3，n=8，
觀察后可得：a=81，c=64，
∴b-d=n³-m⁵=8³-3⁵=243-512=-269．

點評：本題主要考查了數的性質，能夠理解：a必為一個4次方的數，b為5次方的數，c為2次方的數，d為3次方的數，是解決本題的關鍵．