Question

如圖，在平面直角坐標系中，把拋物線向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，頂點為.

    （1）寫出的值；

    （2）判斷的形狀，并說明理由；

（3）在線段上是否存在點，使∽？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）直角三角形，理由見解析（3）存在，

【解析】解：（1）的頂點坐標為Ｄ（－１，－４），

  ∴ .   …………………………………………２分

 （2）由（1）得.

  當時，． 解之，得　．

 ∴ .

  又當時，，

∴C點坐標為.………………………………4分

又拋物線頂點坐標，作拋物線的對稱軸交軸于點E， 軸于點．易知

在中，；

在中，；

在中，；

∴ ．

∴ △ACD是直角三角形．…………………………６分

(2)存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ點即為所求點．

由（2）知，為等腰直角三角形，，．

由，得．

即. …………………………9分

過點作于點，則

，.

又點M在第三象限，所以.  …………………………12分

(1)由拋物線的頂點坐標特征可以求得的值；

(2)先由拋物線函數關系式求得點A、C、D的坐標，再根據勾股定理可以求出AC、AD、CD的長，因為，所以△ACD是直角三角形．

(3)由，根據對應邊成比例可求出AM的長，過點作于點，根據勾股定理可求出AG、MG的長，再求得OG的長，從而得到點的坐標。