Question

如圖，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，即可得到關于x的不等式組，即可求解；
（2）根據勾股定理，即可列方程求解．

解答：解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴

1+x＞3-x 1+3-x＞x

，解得1＜x＜2．　（4分）

（2）①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解．
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，滿足1＜x＜2．
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，滿足1＜x＜2．
∴x=

5

3

或x=

4

3

．

點評：本題主要考查了三角形的三邊關系以及勾股定理，正確理解分類討論是解題的關鍵．