Question

【題目】小紅和小明在研究一個數學問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經過點E，探索∠E與∠A，∠C的數量關系．

（一）發現：在如圖1中，小紅和小明都發現：∠AEC=∠A+∠C；

小紅是這樣證明的：如圖7過點E作EQ∥AB．

∴∠AEQ=∠A（　　）

∵EQ∥AB，AB∥CD．

∴EQ∥CD（　　）

∴∠CEQ=∠C

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C 即∠AEC=∠A+∠C．

小明是這樣證明的：如圖7過點E作EQ∥AB∥CD．

∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C

請在上面證明過程的橫線上，填寫依據：兩人的證明過程中，完全正確的是　　．

（二）嘗試：

（1）在如圖2中，若∠A=110°，∠C=130°，則∠E的度數為　　；

（2）在如圖3中，若∠A=20°，∠C=50°，則∠E的度數為　　．

（三）探索：

裝置如圖4中，探索∠E與∠A，∠C的數量關系，并說明理由．

（四）猜想：

（1）如圖5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之間有什么關系？（直接寫出結論）

（2）如圖6，你可以得到什么結論？（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】(一) （ 兩直線平行，內錯角相等）（平行于同一條直線的兩直線平行），小明的證法；（二）120°，30°；(三)見解析;(四) （1）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D;(2)見解析.

【解析】

（一）小紅、小明的做法，都是做了平行線，利用平行線的性質；（二）的（1）、（四）都可仿照（一），通過添加平行線把分散的角集中起來．

（一）（ 兩直線平行，內錯角相等），（平行于同一條直線的兩直線平行）；

完全正確的是：小明的證法；

（二）嘗試：

（1）（1）過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD．∵EF∥AB，

∴∠A+∠AEF=180°，

∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．

∵EF∥CD，

∴∠C+∠CEF=180°，

∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70°+50°=120°．

（2）如圖，

∵AB∥CD，

∴∠EOB=∠C=50°，

∵∠EOB=∠A+∠E，

∵∠E=∠EOB-∠A=50°-20°=30°．

答案：120°，30°．

（三）∠E=∠EAB∠C.

理由：延長EA，交CD于點F.

∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠EAB.

∵∠EFD=∠C+∠E，

∴∠EAB=∠C+∠E，

∴∠E=∠EAB∠C.

（四）（1）可通過過點E、F、G分別做AB的平行線，得到結論：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

(2)同上道理一樣,可得到結論：∠E1+∠E2+…+∠En=∠F1+∠F2+…∠Fn+∠B+∠D.