Question

如圖在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，現將一塊直徑為2的半圓形紙片放置在矩形ABCD中，使其直徑與AD重合，若將半圓上點D固定，再把半圓往矩形外旋至A′D處，半圓弧A^′D與AD交于點P，設∠ADA′=α．
（1）若AP=2-

2

，求α的度數；
（2）當∠α=30°時，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形來求α的度數，連接A′P根據圓周角定理，可知∠A′PD=90°，在直角三角形A′PD中，已知了AP的長又有AD的長，那么就求出了PD的長，又有半圓半徑的長，那么可用余弦函數求出α的度數；
（2）觀察圖可看出陰影部分的面積=半圓的面積-弓形的面積，已知了半圓的半徑，那么可求出半圓的面積，而弓形的面積=扇形OPD的面積-三角形OPD的面積，有∠ADA′的度數可根據等邊對頂角和三角形的內角和求出∠POD的度數，也就求出了扇形的面積，三角形POD中，求出了PD的長，高可用半徑的長和正弦函數求出，因此就能求出三角形POD的面積了，也就能求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）連接PA′，
∵AD是直徑，
∴∠A′PD=90°．
∵AD=A′D=2，且AP=2-

2

，
∴PD=

2

，
∴cosα=

DP

DA′

=

2

2

，
∴∠а=45°；

（2）連接OP．
S_陰影部分=S_半圓-S_弓形PD=

1

2

π-（S_扇形POD-S_△POD）
=

1

2

π-（

120π

360

-

1

2

×

3

×

1

2

）
=

1

6

π+

3

4

．

點評：本題主要考查了扇形的面積公式和解直角三角形的應用．求不規則的圖形的面積，可以轉化為幾個規則圖形的面積的和或差來求．