Question

【題目】（閱讀材科）小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，

如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．

（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發現．

（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有　　　　．(將所有正確的序號填在橫線上)．

（延伸應用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．

【解析】

（1）利用等式的性質得出∠BAD=∠CAE，即可得出結論；
（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結論；
（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結論．

（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如圖2，

∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，
記AD與CE的交點為G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正確，
在OB上取一點F，使OF=OC，
∴△OCF是等邊三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，
連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，
所以，④不一定正確，
即：正確的有①②③，
故答案為①②③；
（3）如圖3，

延長DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等邊三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．