Question

【題目】已知函數 其中是常數，且＞0．

（1）若點（，2）在函數的圖象上，求的值．

（2）當=1時，①當≤≤2時，求函數值的取值范圍．

②當≤≤時，函數圖象上的點到軸的距離恒（永遠）小于6，求的取值范圍．

（3）直接寫出函數圖象與有兩個交點時的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①0＜≤3，4＜≤10； ② ≤≤；（3），≤＜，＜＜

【解析】

（1）根據題意，把點（，2）分別代入解析式，求出n的值，然后結合n的取值范圍，即可得到答案.

（2）①當n=1時，求出代數式，然后根據x的取值范圍，分別求出y的取值范圍，即可得到答案；

②結合圖像y=6與函數圖像的交點，找出臨界點，然后根據函數圖象上的點到軸的距離恒（永遠）小于6，即可求出t的取值范圍；

（3）根據題意，可分為兩種情況：當時，先計算函數的頂點坐標，縱坐標相等，然后求出n的值；當時，找出有兩個交點時的臨界點，然后通過計算，求出n的取值范圍，即可得到答案.

解：（1）當點（，2）在函數時，

有，

解得：（不符合題意，舍去）；

當點（，2）在函數的圖象上時，

有，

解得：（負值舍去），

∴；

當點（，2）在函數的圖象上時，

有，

解得：（舍去），.

綜上所述，或.

（2）當時，

①當≤≤2時，有≤＜，≤≤1，1＜≤2三段.

取≤＜時，有，

∴4＜≤10；

取≤≤1，有，

∴1≤≤2；

取1＜≤2，有，

∴0＜≤3.

∴ 綜上所述，0＜≤3，4＜≤10.

②當=1時，函數圖象如圖所示.

當時，有，

解得：，（舍去）；

當，

解得：（舍去），；

∴≤≤時，≤6.

∴ ，

∴ ≤≤.

（3）∵，

∴ 頂點坐標是（，）；

∵，

∴頂點坐標是（，）；

∴=，

解得：（負值舍去），

∴；

當時，，

∴=，

解得：，.

∵，解得：，

結合，.

∴函數圖象與有兩個交點時，的取值范圍是：或≤＜或＜＜.