Question

如圖，在平面直角坐標中，已知直線y=kx+b與直線y=

1

2

x平行，分別交x軸，y軸于A，B兩點，且A點的橫坐標是-4，以AB為邊在第二象限內作矩形ABCD，使AD=

5

．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）過點D作DH⊥x軸，垂足為H，試求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b與直線y=

1

2

x平行，得出k的值，由A的橫坐標為-4，確定出A的坐標，將A的坐標代入直線AB解析式中求出b的值，確定出直線AB的解析式，令x=0，求出對應的y值，即為B的縱坐標，確定出OB的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，再由AD的長，利用矩形的面積公式即可求出矩形ABCD的面積；
（2）由三角形ADH和三角形AOB中兩銳角互余，列出兩個等式，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得出三角形ADH與三角形AOB相似，由相似得比例，將AD，AB，OA及OB的長代入，求出DH與AH的長，再由AH+OA求出OH的長，由D為第二象限點，即可得出D的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b與直線y=

1

2

x平行，
∴k=

1

2

，
由A的橫坐標為-4，得到A（-4，0），即OA=4，
將x=-4，y=0代入y=

1

2

x+b得：

1

2

×（-4）+b=0，
解得：b=2，
∴直線AB解析式為y=

1

2

x+2，
令x=0，解得：y=2，
∴B（0，2），即OB=2，
在Rt△AOB中，根據勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=2

5

，
又AD=

5

，
則矩形ABCD的面積S=AD•AB=10；
（2）在Rt△ADH和Rt△BAO中，
∵∠HAD+∠ADH=90°，∠HAD+∠BAO=90°，
∴∠ADH=∠BAO，又∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽△BAO，
∴

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

AB

，即

DH

4

=

AH

2

=

5

2 5

=

1

2

，
解得：DH=2，AH=1，
∴OH=OA+AH=4+1=5，
則D的坐標為（-5，2）．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及矩形的面積公式，其中根據兩直線平行時k值相同得出k的值是本題的突破點．