Question

【題目】如圖1，已知矩形ABED，點C是邊DE的中點，且AB=2AD.

(1)由圖1通過觀察、猜想可以得到線段AC與線段BC的數量關系為___，位置關系為__；

(2)保持圖1中的△ABC固定不變,繞點C旋轉DE所在的直線MN到圖2中的位置(當垂線AD、BE在直線MN的同側).試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關系?并給予證明(第一問中得到的猜想結論可以直接在證明中使用)；

(3)保持圖2中的△ABC固定不變,繼續繞點C旋轉DE所在的直線MN到圖3中的位置(當垂線段AD、BE在直線MN的異側).試探究線段AD、BE、DE長度之間有___關系.

Answer 1

【答案】（1）AC=BC，AC⊥BC，；（2）DE=AD+BE，理由見解析；（3）DE=BEAD.

【解析】

（1）根據矩形的性質及勾股定理，即可證得△ADC≌△BEC，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）通過證明△ACD≌△CBE，根據全等三角形的性質得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關系；

（3）通過證明△ACD≌△CBE，根據全等三角形的性質得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關系．

(1)AC=BC，AC⊥BC，

在△ADC與△BEC中, ，

∴△ADC≌△BEC(SAS)，

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB.

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°∠DCA∠ECB=90°.

∴AC⊥BC，

故答案為：AC=BC，AC⊥BC；

(2)DE=AD+BE.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD與△CBE中, ，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DC+CE=BE+AD，

即DE=AD+BE.

(3)DE=BEAD.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD與△CBE中,

，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DCCE=BEAD，

即DE=BEAD，

故答案為：DE=BEAD.