Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO，交AD于點F，OE⊥OB交BC于點E．

（1）如圖1，當O為邊AC中點，時，求的值.小明這樣想的，過O點作OH∥AB交BC于點H，可證△AOF∽△HOE，于是求出答案，請你直接寫出答案 ；

（2）如圖2，當O為邊AC中點，時，請求出的值,并說明理由；

（3）如圖3，當,時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) ;(3) .

【解析】

（1）先證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易證：△OEH和△OFA相似，進而證明△ABF∽△HOE，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可得出所求的值；

（2）同（1）的方法得出，代換即可得出結論．

（3）同（1）的方法得出，代換即可得出結論．

（1）證明：∵AD⊥BC，

∴∠DAC+∠C=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠BAF=∠C．

∵OE⊥OB，

∴∠BOA+∠COE=90°，

∵∠BOA+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠COE．

過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，

∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．

∴∠AFB=∠OEC，

∴∠AFO=∠HEO，

而∠BAF=∠C，

∴∠FAO=∠EHO，

∴△OEH∽△OFA，

∴

又∵O為AC的中點，OH∥AB．

∴OH為△ABC的中位線，

∴OH=AB，OA=OC=AC，

而＝2，

∴，

即；

（2）同（1）方法得：，

∵又∵O為AC的中點，OH∥AB．

∴OH為△ABC的中位線，

∴OH=AB，OA=OC=AC，

∵，

∴，

∴．

（3）同（1）方法得：，

∵OH∥AB，

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴．