Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動．已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（0＜x＜6）．

（1）點G在四邊形ABCD的邊上時，x＝　 　；點F與點C重合時，x＝　 　；

（2）求出使△DFC成為等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG與四邊形ABCD重疊部分的面積y與x之間的函數關系式，并直接寫出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；3；（2）x的值為3﹣或3+或2；

（3）； y的最大值為．

【解析】

（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形，當等邊三角形△EGF的高=時，點G在AD上，此時x＝2，當點F與C重合時，BE＝BC＝3即可；

（2）分三種情況：①當CF＝CD且F在C左側時，②當CF＝CD且F在C右側時，③當FC＝DF時，分別構建方程即可解決問題；

（3）分圖1，圖2，圖3三種情況解決問題：①當0＜x≤2時，如圖1中，△EFG在四邊形ABCD內部，重疊部分就是△EFG；②當2＜x＜3時，如圖2中，點E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM；③當3≤x＜6時，如圖3中，點E在線段BC上，點F在射線BC上，重疊部分是△ECP．

解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形，

∵AD＝BH＝3，BC＝6，

∴CH＝BC﹣BH＝3，

在Rt△DHC中，CH＝3，∠DCH＝30°，

∴DH＝CHtan30°＝，CD=2

當等邊三角形△EGF的高＝時，點G在AD上，則EF=2，由2x-x=2，得x＝2，

當點F與C重合時，BE+EF=BC=6,所

以BE=EF,則BE＝BC＝3，此時x＝3，

所以點G在四邊形ABCD的邊上時，x＝2，點F與點C重合時，x＝3，

故答案為2；3．

（2）注意到0＜x＜6，故△DFC為等腰三角形只有三種情形：

①當CF＝CD且F在C左側時，6﹣2x＝2，得x＝3﹣；

②當CF＝CD且F在C右側時，2x﹣6＝2，得x＝3+；

③當FC＝DF時，在Rt△FHD中，DF=，∴6﹣2x＝2，得x＝2；

綜上所述，x的值為3﹣或3+或2；

（3）①當0＜x≤2時，如圖1中，△EFG在四邊形ABCD內部，所以y＝x2，y的最大值為，

②當2＜x＜3時，如圖2中，點E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°，GF=EF= x，

∴FN＝FC＝6﹣2x，

∴GN＝3x﹣6，

∵∠G＝60°，

∴△GNM是直角三角形，

∴y＝S△EFG﹣S△GMN＝x2﹣（3x﹣6）2＝﹣x2+x﹣，y的最大值為；

③當3≤x＜6時，如圖3中，點E在線段BC上，點F在射線BC上，重疊部分是△ECP，且∠ECP+∠CEP=90°，∠EPC=90°，所以△ECP為直角三角形，EC=6-x，則

y＝（6﹣x）2＝x2﹣x+，y的最大值為，

綜上所述，y的最大值為，

故答案為：，y的最大值為．