Question

【題目】如圖， 是⊙ 的直徑， 是⊙ 的弦，過點 的切線交 的延長線于點 ，且 .

（1）求 的度數;
（2）若 =3，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵過點C的切線交AB的延長線于點D，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，

∴∠D=30°，

∴∠ACD=180°-∠A-∠D=180°-30°-30°=120°

（2）解：由（1）可知∠COD=60°在Rt△COD中，∵CD=3，∴OC=3× ，∴陰影部分的面積=

【解析】（1）根據切線的性質和已知∠A=∠D，得到∠COD=2∠D，根據三角形內角和定理，求出∠ACD的度數；（2）由（1）可知∠COD=60°，求出陰影部分的面積等于三角形COD的面積-扇形COB的面積.
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．