Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若△ACD的面積為3．
①求拋物線的解析式；
②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點(diǎn)P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1）=ax²+2ax﹣3a。
∵y= ax²+2ax﹣3a =a（x²+2x﹣3）=a（x+1）²﹣4a，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a）。
（2）①如圖1，設(shè)AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，

∵拋物線y=ax²+2ax﹣3a與y軸交于點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3a）。
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+t，
則：，解得：。
∴直線AC的解析式為：y=﹣ax﹣3a。
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2a）。∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a。
∴。
∴﹣3a=3，解得a=﹣1。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
②∵y=﹣x²﹣2x+3，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），C（0，3）。
∵A（﹣3，0），
∴AD²=（﹣1+3）²+（4﹣0）²=20，CD²=（﹣1﹣0）²+（4﹣3）²=2，
AC²=（0+3）²+（3﹣0）²=18。
∴AD²=CD²+AC²。∴∠ACD=90°。
∴。
∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC=。
如圖2，設(shè)y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點(diǎn)P，直線AP與y軸交于點(diǎn)F，
∵，
∴OF=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）。
分兩種情況：
（Ⅰ）如圖2①，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，易求直線AF的解析式為，

由解得，，（舍去）。
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。
將P點(diǎn)坐標(biāo)（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4。
（Ⅱ）如圖2②，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣1）時(shí)，易求直線AF的解析式為。

由解得，
，（舍去）。
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。
將P點(diǎn)坐標(biāo)（，）代入y=﹣（x+m）²+4，
得=﹣（+m）²+4，解得m₁=，m₂=1（舍去）。
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4。
綜上可知，平移后拋物線的解析式為y=﹣（x）²+4或y=﹣（x）²+4。

試題分析：（1）已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）（x﹣1），再配方為頂點(diǎn)式，可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）①設(shè)AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到DE的長，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式。
②先運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數(shù)求出tan∠DAC=。設(shè)拋物線向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點(diǎn)P，直線AP與y軸交于點(diǎn)F．根據(jù)正切函數(shù)的定義求出OF=1。分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）如圖2①，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣1）．針對(duì)這兩種情況，都可以先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再得出m的值，進(jìn)而求出平移后拋物線的解析式。