Question

如下圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A(18，0)，B(18，6)，C(8，6)，四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發，分別坐勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．

(1)求出直線OC的解析式及經過O、A、C三點的拋物線的解析式．

(2)試在(1)中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．

(3)設從出發起，運動了t秒．如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．

(4)設從出發起，運動了t秒．當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵O、C兩點的坐標分別為O，C 　　設OC的解析式為，將兩點坐標代入得： 　　，，∴ 　　∵A，O是軸上兩點，故可設拋物線的解析式為 　　再將C代入得： 　　∴(2)D 　　(3)當Q在OC上運動時，可設Q， 　　依題意有： 　　∴，∴Q， 　　當Q在CB上時，Q點所走過的路程為， 　　∵OC＝10，∴CQ＝ 　　∴Q點的橫坐標為， 　　∴Q， 　　(4)∵梯形OABC的周長為44，當Q點OC上時，P運動的路程為， 　　則Q運動的路程為 　　△OPQ中，OP邊上的高為： 　　梯形OABC的面積＝， 　　依題意有： 　　整理得： 　　∵△＝，∴這樣的不存在 　　當Q在BC上時，Q走過的路程為， 　　∴CQ的長為： 　　∴梯形OCQP的面積＝＝36≠84× 　　∴這樣的值不存在 　　綜上所述，不存在這樣的值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積．