Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交弧AC于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=2時，求出四邊形ACDE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵F為弦AC（非直徑）的中點，

∴AF=CF，

∴OD⊥AC，

∵DE切⊙O于點D，

∴OD⊥DE，

∴AC∥DE

（2）證明：∵AC∥DE，且OA=AE，

∴F為OD的中點，即OF=FD，又∵AF=CF，

∠AFO=∠CFD，

∴△AFO≌△CFD（SAS），

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四邊形ACDE=S△ODE

在Rt△ODE中，OD=OA=AE=2，

∴OE=4，

∴DE= =2

∴S四邊形ACDE=S△ODE= ×OD×OE= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD ， 推出S四邊形ACDE=S△ODE ， 求出△ODE的面積即可．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．