Question

【題目】如圖，甲、乙兩人分別從A（1， ）、B（6，0）兩點同時出發，點O為坐標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．
（1）請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行；
（2）當t為何值時，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN2 ， 求s與t之間的函數關系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為A坐標為（1， ），

所以OA=2，∠AOB=60°．

因為OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

當 = 時，解得t=0，

即在甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行

（2）證明：因為甲達到O點時間為t= ，乙達到O點的時間為t= = ，所以甲先到達O點，所以t= 或t= 時，O、M、N三點不能連接成三角形，

①當t＜ 時，如果△OMN∽△OBA，則有 = ，解得t=2＞ ，所以，△OMN不可能相似△OBA；

②當 ＜t＜ 時，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不相似△OBA；

③當t＞ 時， = ，解得t=2＞ ，所以當t=2時，△OMN∽△OBA

（3）證明：①當t≤ 時，如圖1，過點M作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，因為∠AOB=60°，

所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

OH=0Mcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

②當 ＜t≤ 時，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

所以s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

③當t＞ 時，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，

綜上所述，s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

因為s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，

所以當t=1時，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2 km．

【解析】（1）用反證法說明．根據已知條件分別表示相關線段的長度，根據三角形相似得比例式說明；（2）根據兩個點到達O點的時間不同分段討論解答；（3）在不同的時間段運用相似三角形的判定和性質分別求解析式，運用函數性質解答問題．
【考點精析】利用二次函數的最值和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．