Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是線段AB上的一個動點，以O為圓心，OB為半徑作⊙O交BC于點D，過點D作直線AC的垂線，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）設OB=x，求∠ODE的內部與△ABC重合部分的面積y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）①當x=時，S△ODF最大，最大值為；②當x=6時，重合部分的面積最大，最大值為10．

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質可得∠C=∠B，∠ODB=∠C，從而∠ODB=∠C，根據同位角相等兩直線平行可證OD∥AC，進而可證明結論；（2）①當點E在CA的延長線上時，設DE與AB交于點F，圍成的圖形為△ODF; ②當點E在線段AC上時，圍成的圖形為梯形AODE.根據三角形和梯形的面積公式列出函數關系式，利用二次函數的性質求解.

證明：（1）連接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（2）①當點E在CA的延長線上時，設DE與AB交于點F，圍成的圖形為△ODF．

∵OD= OB= x，∠B=30°，∴∠FOD=60°，

∵∠ODE=90°，∴DF= x，

∴S△ODF= x·x= x，(0＜x≤)

當x=時，S△ODF最大，最大值為；

②當點E在線段AC上時，圍成的圖形為梯形AODE．

∵AB=AC=10，∠B=30°，∴BC=10，

作OH⊥BC，∵OD= OB= x，∠B=30°，

∴BD= 2BH= x，∴CD= 10x，

∵∠C=30°，∠DEC=90°，

∴DE= (10－x)，CE= (10－x)=15－x，∴AE=x－5，

∴S梯形AODE= (x－5+ x)· (10－x)= (－x+12 x－20) (＜x＜10)

當x=6時，S梯形AODE最大，最大值為10；

綜上所述，當x=6時，重合部分的面積最大，最大值為10．