Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，且與正比例函數的圖象交于點.

（1）求一次函數的解析式；

（2）點在軸上，當最小時，求出點的坐標；

（3）若點是直線上一點，點是平面內一點，以、、、四點為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或（，）.

【解析】

（1）由A、C坐標，利用待定系數法可求得答案；

（2）由一次函數解析式可求得B點坐標，可求得B點關于x軸的對稱點B′的坐標，連接B′C與x軸的交點即為所求的P點，由B′、C坐標可求得直線B′C的解析式，則可求得P點坐標；

（3）分兩種情形分別討論：①當OC為邊時，四邊形OCFE是矩形，此時EO⊥OC；②當OC為對角線時，四邊形OE′CF′是矩形，此時OE′⊥AC；分別求出E和E’的坐標，然后根據矩形的性質和坐標間的位置關系即可得到點的坐標.

解：（1）∵一次函數y＝mx＋n（m≠0）的圖象經過點A（3，0），點C（3，6），

∴，解得，

∴一次函數的解析式為y＝x＋3；

（2）如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，連接CB′交x軸于P，此時PB＋PC的值最小．

∵B（0，3），C（3，6）

∴B′（0，-3），

設直線CB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，解得：，

∴直線CB′的解析式為y＝3x3，

令y＝0，得x＝1，

∴P（1，0）；

（3）如圖，

①當OC為邊時，四邊形OCFE是矩形，此時EO⊥OC，

∵直線OC的解析式為y＝2x，

∴直線OE的解析式為y＝x，

聯立，解得，

∴E（2，1），

∵EO＝CF，OE∥CF，

根據坐標之間的位置關系易得：F（1，7）；

②當OC為對角線時，四邊形OE′CF′是矩形，此時OE′⊥AC，

∴直線OE′的解析式為y＝x，

由，解得，

∴E′（，），

∵OE′＝CF′，OE′∥CF′，

根據坐標之間的位置關系易得：F′（，），

綜上所述，滿足條件的點F的坐標為（1，7）或（，）．