Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線yx m交 y軸的正半軸于點A，交x軸的正半軸于點B，過點A的直線AF交x軸的負半軸于點F，∠AFO=45°．

（1）求∠FAB的度數；

（2）點 P是線段OB上一點，過點P作 PQ⊥OB交直線 FA于點Q，連接 BQ，取 BQ的中點C，連接AP、AC、CP，過點C作 CR⊥AP于點R，設 BQ的長為d，CR的長為h，求d與 h的函數關系式（不要求寫出自變量h的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點 C 作 CE⊥OB于點E，CE交 AB于點D，連接 AE，∠AEC=2∠DAP，EP=2，作線段 CD 關于直線AB的對稱線段DS，求直線PS與直線 AF的交點K的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∠FAB=90°；（2）；（3）直線PS與直線AF的交點K(-2，6)．

【解析】

（1）通過直線AB的解析式可求出點A、B的坐標，可知是等腰直角三角形，再結合已知條件即可確定；

（2）根據已知條件證明CP=AC=QC=BC從而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt△CRP中，利用sin∠CPR，推出，繼而得出，得出答案；

（3）過點 A 作AH⊥CE 交 EC 的延長線于點 H，延長 CH 到點 G，使 HG=CH，連接AG，證明△AHC≌△CEP，設，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通過角的等量代換，得出∠EAG=∠G，從而有EG=EA=n+4，在Rt△AHE 中，通過勾股定理AE=HE+AH可求出n的值為6，從而得出直線AF的解析式y x 8 ，再求出直線

PS的解析式為 y=-x+4，求交點即可．

解：（1）如下圖，y x m ，當x=0時，y=m

∴A（0，m），OA=m

當y=0時，0=-x+m，x=m，

∴B（m，0），OB=m

∴OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=45°

∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°

∴∠FAB=90°

（2）如下圖 ，∵CP、AC 分別是 Rt△QPB和 Rt△QAB 的斜邊上的中線

∴CP= ，，

∴CP=AC=QC=BC

∴∠CAB=∠CBA

設∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α

∴∠CPB=∠CBP=45°+α

∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP）=90°-2α

∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α

∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°

∵AC=CP

∴△ACP 是等腰直角三角形

∴∠CPA=∠CAP=45°

∵CR⊥AP，∴∠CRP=90°，在Rt△CRP中

sin∠CPR

∴

∵，

∴

即

（3）過點 A 作AH⊥CE 交 EC 的延長線于點 H，延長 CH 到點 G，使 HG=CH，連接AG

∴∠AHC=∠CEP=90°

∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA

∴∠HAC=∠PCE，∵AC=CP

∴△AHC≌△CEP

∴CH=PE=2，AH=CE，∴GH=CH=2，

∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4

設∠DAP=β，則∠AEG=2β

∴α+β=45°

∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°

∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β

∵AH 垂直平分 GC

∴AG=AC

∴∠GAH=∠CAH=β

∴∠G=90°-β 在△EAG 中

∠EAG=180°-∠G-∠AEG

=180°-（90°-β）-2β =90°-β

∴∠EAG=∠G

∴EG=EA=n+4

在 Rt△AHE 中，AE=HE+AH

（舍）

∴AH=OE=6，EP=EB=2

∴OB=OE+BE=8

∴m=8，∴A（0，8）

∴OA=OF=8 ， ∴F（-8，0）

∴直線 AF 的解析式為 y x 8

∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4

∵線段 CD 關于直線 AB 的對稱線段 DS

∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°

∴∠CDS=90°，

∴SD∥x 軸

過點 S 分別作 SM⊥x 軸于點 M，SN⊥y 軸于點 N

∴四邊形 OMSN、SMED 都是矩形

∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2

∴S(2，2)

∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)

設直線 PS 的解析式為 y=ax+b

∴，解得：

∴直線 PS的解析式為 y=-x+4

設直線PS與直線AF的交點K(x，y)

∴解得

∴直線PS與直線AF的交點K(-2，6)．