Question

【題目】關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實根x1、x2 ．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1x2 ， 求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵原方程有兩個不相等的實數根，

∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

解得：k＞ ，

即實數k的取值范圍是k＞ ；

（2）

解：∵根據根與系數的關系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，

又∵方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1x2，

∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），

解得：k1=0，k2=2，

∵k＞ ，

∴k只能是2．

【解析】本題考查了根與系數的關系和根的判別式的應用，能正確運用性質進行計算是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．（1）根據根與系數的關系得出△＞0，代入求出即可；（2）根據根與系數的關系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，根據x1+x2=﹣x1x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根據（1）的范圍確定即可．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．