Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，

∴∠OBE=∠ODF．

在△OBE與△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）．

∴BO=DO．

（2）

解：∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，

∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE

∵BD⊥AD，

∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG=1，

由（1）可知，OE=OF=1，

∴GE=OE+OF+FG=3，

∴AE=3．

【解析】1）由平行四邊形的性質和AAS證明△OBE≌△ODF，得出對應邊相等即可；（2）證出AE=GE，再證明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出結果．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．