Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）弦長AB = ____________（結果保留根號）；

（2）當∠D = 20°時，求∠BOD的度數；

（3）當AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

【答案】（1）2（2）100°（3）AC=．

【解析】試題分析：（1）過點O作OE⊥AB于E，則AE=BE=AB，在Rt△BOE中，利用∠B的余弦可求出BE的長，然后可得出AB的長；（2）連接OA，根據OA=OD=OB,可得∠D =∠DAO =" 20°," ∠B=∠BAO = 30°,然后可求出∠DAB = 50°,再利用圓周角定理可得∠BOD=2∠DAB = 100°；（3）利用三角形的外角的性質可得∠BCO=

∠A+∠D，然后分析可得出只能是△DAC∽△BOC，此時∠DCA=∠BCO=90°，∠DAC=60°，在Rt△BOE中，利用∠DAC的三角函數值可求出AC的長．

試題解析：解：（1）過點O作OE⊥AB于E，

則AE=BE=AB，∠OEB=90°，

∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OBcos∠B=2×=，

∴AB=2；故答案為：2；

（2）連接OA，

∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=．

∴當AC的長度為時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似．