Question

如圖，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1．以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成△ABC，設AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面積？

Answer 1

分析：（1）因為所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三邊之間的關系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進行解答．
（2）應該分情況討論，因為不知道在三角形中哪一個是作為斜邊存在的．所以有三種情況，即：①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解．
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，滿足1＜x＜2．
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，滿足1＜x＜2．
∴x=

5

3

或x=

4

3

．
（3）在△ABC中，AB的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因為三角形形狀不固定，
高在發生變化，所以造成面積不固定，需分情況進行討論．具體分①若點D在線段AB上，②若點D在線段MA上兩種情況．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴

1+x＞3-x 1+3-x＞x

，
解得1＜x＜2；

（2）①若AC為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解，
②若AB為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，滿足1＜x＜2，
③若BC為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，滿足1＜x＜2，
∴x=

5

3

或x=

4

3

；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，
設CD=h，△ABC的面積為S，則S=

1

2

xh，
①若點D在線段AB上，
則

1-h2

+

(3-x)2-h2

=x，
∴(3-x)2-h2=x2-2x

1-h2

+1-h2，
即x

1-h2

=3x-4，
∴x²（1-h²）=9x²-24x+16，
即x²h²=-8x²+24x-16．
∴S²=

1

4

x²h²=-2x²+6x-4=-2（x-

3

2

）²+

1

2

（

4

3

≤x＜2），
當x=

3

2

時（滿足

4

3

≤x＜2）S²取最大值

1

2

，從而S取最大值

2

2

；
②若點D在線段MA上，
則

(3-x)2-h2

-

1-h2

=x，
同理可，得
S²=

1

4

x²h²=-2x²+6x-4
=-2（x-

3

2

）²+

1

2

（1＜x≤

4

3

），
易知此時S＜

2

2

，
綜合①②得，△ABC的最大面積為

2

2

．

點評：解此題的關鍵是進行全方面分析，注意一題多解．難易程度適中．