Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時

①請說明△ADC≌△CEB的理由；

②請說明DE=AD+BE的理由；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接在橫線上寫出這個等量關系：__________；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接在橫線上寫出這個等量關系：__________．

Answer 1

【答案】（1）①證明見詳解；②證明見詳解；（2）DE=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD.

【解析】

（1）①根據題意得∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，即∠DAC=∠BCE，再根據AAS即可得證；

②由①得到AD=CE，CD=BE，即可得證；

（2）類似（1）可證得∠ACD=∠EBC，推出△ADC≌△CEB，則AD=CE，CD=BE，代入已知即可得打答案；

（3）證明方法同（2）.

（1）①證明：如圖1中，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②證明：由①知△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DC+CE=DE，

∴AD+BE=DE；

（2）結論：DE=AD﹣BE．

理由如下：

如圖2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC與△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC－CD=AD－BE；

（3）結論：DE=BE﹣AD．

理由如下：如圖3中，∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD與△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD－CE=BE－AD.