Question

【題目】如圖，AD是△ABC的邊BC的中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，連接CF，BF交AC于G．

（1）若四邊形ADCF是菱形，試證明△ABC是直角三角形；

（2）求證：CG=2AG．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）由菱形定義及AD是△ABC的中線知AD=DC=BD，從而得∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，根據∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°可得答案．

（2）作DM∥EG交AC于點M，分別證DM是△BCG的中位線和EG是△ADM的中位線得AG=GM=CM，從而得出答案．

（1）∵四邊形ADCF是菱形，AD是△ABC的中線，

∴AD=DC=BD，

∴∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，

∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（2）過點D作DM∥EG交AC于點M，

∵AD是△ABC的邊BC的中線，

∴BD=DC，

∵DM∥EG，

∴DM是△BCG的中位線，

∴M是CG的中點，

∴CM=MG，

∵DM∥EG，E是AD的中點，

∴EG是△ADM的中位線，

∴G是AM的中點，

∴AG=MG，

∴CG=2AG．