Question

操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的圓形紙片進行如下設計：

					說明： 方案一圖形中的圓過點A、B、C； 方案二直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點．

 

 紙片利用率=×100%

發現：（1）方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點．

你認為小明的這個發現是否正確，請說明理由．

（2）小明通過計算，發現方案一中紙片的利用率僅約為38.2%．

請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程．

    探究：（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進行了新的設計（方案三），請直接寫出方案三的利用率．

			說明： 方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點．

 

Answer 1

解：發現：（1）小明的這個發現正確．……………………………（1分）

理由：解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，

∵AC=BC=，AB=2

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠ACB=90°，

∴AB為該圓的直徑．                      

解法二：如圖二：連接AC、BC、AB．

易證△AMC≌△BNC，

∴∠ACM=∠CBN．

又∵∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠BAC=90°，

∴AB為該圓的直徑．                       ……………………………………（3分）

（2）如圖三：∵DE=FH，DE∥FH，

∴∠AED=∠EFH，

∵∠ADE=∠EHF=90°，

∴△ADE≌△EHF（ASA），

∴AD=EH=1．           ………………………… …………………………………（1分）

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

∴BC=8，

∴S_△ACB=16．          ………………………………………………………………（1分）

∴該方案紙片利用率=×100%=37.5%；……………………………………（1分）

探究：（3）．      ………………………………………………………………（3分）