Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（　　）

A.6
B.2 +1
C.9
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，

設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1 ，
此時垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1 ，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2 ，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1= AC=4，
∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1=1，
如圖，當Q2在AB邊上時，P2與B重合時，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ長的最大值與最小值的和是9．
故選C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．