Question

【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】在計(jì)算器上輸入一個(gè)正數(shù)，不斷地按“ ”鍵求算術(shù)平方根，運(yùn)算結(jié)果越來(lái)越接近1或都等于1．
【提出問(wèn)題】輸入一個(gè)實(shí)數(shù)，不斷地進(jìn)行“乘以常數(shù)k，再加上常數(shù)b”的運(yùn)算，有什么規(guī)律？
【分析問(wèn)題】我們可用框圖表示這種運(yùn)算過(guò)程（如圖a）．
也可用圖象描述：如圖1，在x軸上表示出x1 ， 先在直線y=kx+b上確定點(diǎn)（x1 ， y1），再在直線y=x上確定縱坐標(biāo)為y1的點(diǎn)（x2 ， y1），然后再x軸上確定對(duì)應(yīng)的數(shù)x2 ， …，以此類(lèi)推．
【解決問(wèn)題】研究輸入實(shí)數(shù)x1時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的不斷增加，運(yùn)算結(jié)果x，怎樣變化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么結(jié)論？可以輸入特殊的數(shù)如3，4，5進(jìn)行觀察研究；
（2）若k＞1，又得到什么結(jié)論？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）①若k=﹣ ，b=2，已在x軸上表示出x1（如圖2所示），請(qǐng)?jiān)趚軸上表示x2 ， x3 ， x4 ， 并寫(xiě)出研究結(jié)論；
②若輸入實(shí)數(shù)x1時(shí)，運(yùn)算結(jié)果xn互不相等，且越來(lái)越接近常數(shù)m，直接寫(xiě)出k的取值范圍及m的值（用含k，b的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，

取x1=3，則x2=2，x3=0，x4=﹣4，…

取x1=4，則x2x3=x4=4，…

取x1=5，則x2=6，x3=8，x4=12，…由此發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x1＜4時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，運(yùn)算結(jié)果xn越來(lái)越小．

當(dāng)x1=4時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，運(yùn)算結(jié)果xn的值保持不變，都等于4．

當(dāng)x1＞4時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，運(yùn)算結(jié)果xn越來(lái)越大

（2）

解：當(dāng)x1＞ 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn越來(lái)越大．

當(dāng)x1＜ 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn越來(lái)越小．

當(dāng)x1= 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn保持不變．

理由：如圖1中，直線y=kx+b與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

當(dāng)x1＞ 時(shí)，對(duì)于同一個(gè)x的值，kx+b＞x，

∴y1＞x1

∵y1=x2，

∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，

∴當(dāng)x1＞ 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn越來(lái)越大．

同理，當(dāng)x1＜ 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn越來(lái)越小．

當(dāng)x1= 時(shí)，隨著運(yùn)算次數(shù)n的增加，xn保持不變

（3）

解：①在數(shù)軸上表示的x1，x2，x3如圖2所示．

隨著運(yùn)算次數(shù)的增加，運(yùn)算結(jié)果越來(lái)越接近 ．

②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，

由 消去y得到x=

∴由①探究可知：m= ．

【解析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三種情形解答即可．（2）分x1＞ ，x1＜ ，x1= 三種情形解答即可．（3）①如圖2中，畫(huà)出圖形，根據(jù)圖象即可解決問(wèn)題，xn的值越來(lái)越接近兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
②根據(jù)前面的探究即可解決問(wèn)題．本題考查一次函數(shù)綜合題以及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從一般到特殊探究規(guī)律，學(xué)會(huì)利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解一次函數(shù)的性質(zhì)(一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小)．