Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），C （4，0）兩點，與y軸交于點B．

（1）求這條拋物線的頂點坐標；

（2）已知AD＝AB（點D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t（s）的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）這條拋物線的頂點坐標是（，）；（2）t＝；（3）存在，M（，）．

【解析】

（1）根據拋物線圖像上的三點坐標，利用待定系數法即可解答；

（2）根據A、B的坐標，易求得AD=AB=5，則CD=AC-AD=2，連接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根據等腰三角形三線合一的性質知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB//DQ，此時△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例線段即可求得D Q、PD的長，從而求得AP的值，即可求得t的值；

（3）如圖2，先作C關于對稱軸的對稱點，即點A；連接AQ與對稱軸的交點就是所求的M，先求2的坐標，求直線42的解析式，因為對稱軸是：x=，即M的橫坐標就是，代入AQ的解析式求出y的值．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），C （4，0）兩點，

∴．

解這個方程，得

∴該拋物線解析式是y＝﹣x2+x+4．

∵y＝﹣x2+x+4＝y＝﹣（x﹣）2+．

∴這條拋物線的頂點坐標是（，）；

（2）∵A（﹣3，0），C （4，0），

∴OA＝3，OB＝OC＝4，

則AB＝5，AC＝7，CD＝2；

如圖1，連接DQ，由于BD垂直平分PQ，則DP＝DQ，得：

∠PDB＝∠QDB，

而AD＝AB，得：∠ABD＝∠ADB，

故∠QDB＝∠ABD，

得QD∥AB；

∴△CDQ∽△CAB，則有：＝＝，

∴＝．

∴PD＝DQ＝，AP＝AD﹣PD＝5﹣＝，

故t＝；

（3）存在，

如圖2，連接AQ交對稱軸于M，此時MQ+MC為最小，

過Q作QN⊥x軸于N，

∵DQ∥AB，

∴∠QDN＝∠BAC，

sin∠QDN＝sin∠BAC＝＝，

∴＝，

∴QN＝，

設直線BC的解析式為：y＝kx+b，

把B（0，4）和C（4，0）代入得：，

解得，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4，

當y＝時，＝﹣x+4，

x＝，

∴Q（，），

同理可得：AQ的解析式為：y＝x+，

當x＝時，y＝×＝，

∴M（，）．