Question

已知直線y=-2x+b（b≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為y=x²-（b+10）x+c．
（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y=-2x+b上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y=-2x+b的解析式．

Answer 1

（1）直線y=-2x+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A坐標為（

b

2

，0），點B坐標（0，b），
由題意知，拋物線頂點P坐標為（

b+10

2

，

4c-(b+10)2

4

），
∵拋物線頂點P在直線y=-2x+b上，且過點B，
解得b₁=-10，c₁=-10，b₂=-6，c₂=-6，
∴拋物線解析式為y=x²-10或y=x²-4x-6；

（2）∵點A坐標（

b

2

，0），點B坐標（0，b），
∴OA=|

b

2

|，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴

OB

OC

=

OA

OB

∴OB²=OA•OC，
即b²=OC•|

b

2

|，
∴OC=

2b2

|b|

∵拋物線y=x²-（b+10）x+c的對稱軸為x=

b+10

2

且拋物線對稱軸過點C，
∴|

b+10

2

|=

2b2

|b|

．
（i）當b≤-10時，-

b+10

2

=-2b，
∴b=

10

3

（舍去）
經檢驗，b=

10

3

不合題意，舍去．
（ii）當-10≤b＜0時，

b+10

2

=-2b，
∴b=-2，
（iii）當b＞0時，

b+10

2

=2b，
∴b=

10

3

，
此時拋物線對稱軸直線為x=-

-( 10 3 +10)

2×1

=

20

3

＞0，
BC與x軸的交點在x軸負半軸，
故不符合題意，舍去．
∴直線的解析式為y=-2x-2．