Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x軸于點A(6，0)和點B(－1，0)，交y軸于點C．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）如圖（1），點P是拋物線上位于直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點D，E，當PD＋PE取最大值時，求點P的坐標；

（3）如圖（2），點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分△AMN的邊MN時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，頂點坐標為(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)

【解析】

（1）將點A，B坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結論；
（2）先求出OA=OC=6，進而得出∠OAC=45°，進而判斷出PD=PE，即可得出當PE的長度最大時，PE+PD取最大值，設出點E坐標，表示出點P坐標，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出結論；
（3）先判斷出NF∥x軸，進而求出點N的縱坐標，即可建立方程求解得出結論．

解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋6經過點A（6，0），B（－1，0），

∴

解得a＝－1，b＝5，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6．

∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6，頂點坐標為（，）．

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝－x2＋5x＋6，

∴C（0，6），∴OC＝6．

∵A（6，0），

∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．

∵PD平行于x軸，PE平行于y軸，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD＋PE＝2PE，

∴當PE的長度最大時，PE＋PD取最大值．

設直線AC的函數關系式為y＝kx＋d，

把A（6，0），C（0，6）代入得

解得k＝－1，d＝6，

∴直線AC的解析式為y＝－x＋6．

設E（t，－t＋6）（0＜t＜6），則P（t，－t2＋5t＋6），

∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．

∵－1＜0，∴當t＝3時，PE最大，此時－t2＋5t＋6＝12，

∴P（3，12）．

（3）如答圖，設直線AC與拋物線的對稱軸l的交點為F，連接NF．

∵點F在線段MN的垂直平分線AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．

∵l∥y軸，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，

∴NF∥x軸．

由（2）知直線AC的解析式為y＝－x＋6，

當x＝時，y＝，

∴F（，），

∴點N的縱坐標為．

∵點N在拋物線上，

∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，

∴點N的坐標為（，）或（，）．