Question

【題目】張老師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．

小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

小俊的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．

【變式探究】如圖③，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD﹣PE=CF；請運用上述解答中所積累的經驗和方法完成下題：

【結論運用】如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

試題分析：證明：（方法1）連接AP，如圖②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ABCF=ABPD+ACPE，∵AB=AC，∴CF=PD+PE；

（方法2）過點P作PG⊥CF，垂足為G，如圖②，∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°，∴四邊形PDFG是矩形，∴DP=FG，∠DPG=90°，∴∠CGP=90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°，∴∠PGC=∠CEP，∵∠BDP=∠DPG=90°，∴PG∥AB，∴∠GPC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠GPC=∠ECP，在△PGC和△CEP中，，∴△PGC≌△CEP，∴CG=PE，∴CF=CG+FG=PE+PD；

【變式探究】證明：連接AP，如圖③，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，∴ABCF=ABPD﹣ACPE，∵AB=AC，∴CF=PD﹣PE；

【結論運用】過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°，∵AD=8，CF=3，∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5，由折疊可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，∴DF=5，∵∠C=90°，∴DC==4，∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，∴四邊形EQCD是矩形，∴EQ=DC=4，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，由問題情境中的結論可得：PG+PH=EQ，∴PG+PH=4，∴PG+PH的值為4．