Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分別是邊AB、AC的中點，點P從點D出發沿DE方向運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR‖BA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動．
小題1:求點D到BC的距離DH的長；
小題2:設BQ＝x, QR＝y．
① 求y關于x的函數關系式（0≤x≤10）；
② 是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝10. 　　
∵BC邊上的高為，D為AB中點，　　　　　　　
　　　　　
小題1:①∵QR∥AB，△RQC∽△ABC， .　　　　
　　　　∵BQ＝x，CQ＝10－x,                 
∴,.　　
    　　　（i）當QR為底邊時，QM＝y＝，PQ＝DH＝，
作PM⊥QR于M，則△PQM∽△BCA，，
＝.解得x₁＝BQ ＝.
（ii）當PR為底邊時，QR＝PQ＝，
∵QR∥AB， ，BQ×6＝×10，解得CQ＝4.
∴　x₂＝BQ＝6.
（iii）當PQ為底邊時，點R在PQ的垂直平分線上，點R是CE中點.
∵ QR∥AB，∴ ，解得x₃＝BQ＝.
綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．

小題1:根據三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據相似三角形的性質求出DH的長；
小題1:①根據△RQC∽△ABC，根據三角形的相似比求出y關于x的函數關系式；
②畫出圖形，根據圖形進行討論：
① 當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
② ∴cos∠1=cosC==，∴，即可求出x的值；
③ 當PQ=RQ時，-x+6=，x=6；
④ 當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=CE=AC=2．