Question

已知二次函數y=x²-2mx+m²-1．
（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；
（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），
∴代入二次函數y=x²-2mx+m²-1，得出：m²-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x或y=x²+2x；

（2）∵m=2，
∴二次函數y=x²-2mx+m²-1得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點為：D（2，-1），
當x=0時，y=3，
∴C點坐標為：（0，3）；

（3）當P、C、D共線時PC+PD最短，
過點D作DE⊥y軸于點E，
∵PO∥DE，
∴

PO

DE

=

CO

CE

，
∴

PO

2

=

3

4

，
解得：PO=

3

2

，
∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（

3

2

，0）．