Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=16cm，OC=8cm，現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為t秒．
（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由；
（3）當△OPQ∽△ABP時，拋物線y=

1

4

x²+bx+c經過B、P兩點，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據速度與時間的關系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據面積公式分別列式進行整理即可得解；
（3）根據相似三角形對應邊成比例列出比例式

OQ

AP

=

OP

AB

，然后代入數據求解即可得到t值，從而得到點P的坐標；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據直線解析式與拋物線解析式設出點M、N的坐標，再根據兩點間的距離表示出MN的長度，根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，
∴S_△OPQ=

1

2

（8-t）×2t=-t²+8t（0＜t＜8）；

（2）∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCD-S_△PAB-S_△CBQ，
=8×16-

1

2

×8×（16-2t）-

1

2

×16×t，
=128-64+8t-8t，
=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于64；

（3）當△OPQ∽△ABP時，

OQ

AP

=

OP

AB

，
∴

8-t

16-2t

=

2t

8

，
解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此時P（4，0），
∵B（16，8），
∴

1 4 ×16+4b+c=0 1 4 ×256+16b+c=8

，
解得

b=- 13 3 c= 40 3

，
∴拋物線解析式是y=

1

4

x²-

13

3

x+

40

3

；

（4）設直線BP的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=0 16k+b=8

，
解得

k= 2 3 b=- 8 3

，
∴直線BP的解析式是：y=

2

3

x-

8

3

，
設M（m，

2

3

m-

8

3

）、N（m，

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

），
∵M在BP上運動，
∴4≤m≤16，
∴MN=

2

3

m-

8

3

-（

1

4

m²-

13

3

m+

40

3

）=-

1

4

m²+5m-16，
∴當m=-

b

2a

=10時，MN有最大值是9．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，三角形的面積求解，不規則圖形的面積表示，待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求直線解析式以及兩點間的距離公式，二次函數的最值問題，綜合性較強，準確利用動點表示出線段的長度是解題的關鍵．