Question

【題目】在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點。四邊形BCGF和CDHN都是正方形。AE的中點是M，FH的中點是P。

（1）如圖1，點A、C、E在同一條直線上，根據圖形填空：

①△BMF是__________三角形；

②MP與FH的位置關系是___________；MP與FH的數量關系是____________；

（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，解答下列問題：

①證明：△BMF是等腰三角形；

②（1）中得到的MP與FH的位置關系和數量關系是否仍然成立？證明你的結論；

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，（2）中的三個結論還成立嗎？（成立的不需要說明理由，不成立的需要說明理由）

Answer 1

【答案】 等腰直角 MP⊥FH MP=FH

【解析】整體分析：

（1）①②由正方形的性質直接得到結論；（2）連接MH、MD，設FM與AC交于點Q，證明△FBM≌△MDH，判斷△FMH是等腰直角三角形；（3）由（2）的證明可直接到得結論.

解：（1）①等腰直角；②MP⊥FH，MP=FH；

（2）①∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，

∴MB∥CD，且MB=CD=BC = BF，

∴△BMF是等腰三角形；

②仍然成立．證明如下：

如圖，連接MH、MD，設FM與AC交于點Q．

由①可知MB∥CD，MB=CD，

∴四邊形BCDM是平行四邊形，

∴∠CBM=∠CDM．

又∵∠FBQ=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，

∴△FBM≌△MDH，∴FM=MH，∠MFB=∠HMD，

∴∠FMH=∠FMD－∠HMD=∠AQM－∠MFB=∠FBC=90°，

∴△FMH是等腰直角三角形．

∵P是FH的中點，∴MP⊥FH，MP=FH；

（3）△BMF不是等腰三角形，理由如下：

∵MB=CD，CD≠BC，∴MB≠BF，且∠FBM＞90°；

MP⊥FH仍然成立，MP=FH仍然成立．