Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（-4，0），點P在射線AB上運動，連結CP與y軸交于點D，連結BD．過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連結EF，BF．

（1）求直線AB的函數解析式；
（2）當點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時．
①求證：∠BDE=∠ADP；
②設DE=x，DF=y．請求出y關于x的函數解析式；
（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標：如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
則直線AB的函數解析式為y=-x+4；

（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②連結PE，
∵∠ADP是△DPE的一個外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE，即y=x；

（3）當BD：BF=2：1時，
過點F作FH⊥OB于點H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴===2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4-OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4-OD，
解得：OD=，
∴點D的坐標為（0，），
∴直線CD的解析式為y=x+，
由得：，
則點P的坐標為（2，2）；
當=時，
連結EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
過點F作FG⊥OB于點G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴===，
∴FG=8，OD=BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD=，
∴點D的坐標為（0，-），
直線CD的解析式為：y=-x-，
由得：，
∴點P的坐標為（8，-4），
綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（8，-4）．
分析：（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先連結PE，根據∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=DE，即y=x；
（3）當=2時，過點F作FH⊥OB于點H，則∠DBO=∠BFH，再證出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根據∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-OD，根據DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式為y=x+，最后根據求出點P的坐標即可；
當=時，連結EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點F作FG⊥OB于點G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根據即可求出點P的坐標．
點評：此題考查了一次函數的綜合，用到的知識點是一次函數、矩形的性質、圓的性質，關鍵是綜合運用有關知識作出輔助線，列出方程組．