Question

以O為圓心，1為半徑的圓內有一定點A，過A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS的最大值和最小值．

Answer 1

如圖，設OA=a（定值），
過O作OB⊥PQ，OC⊥RS，B、C為垂足，
設OB=x，OC=y，0≤x≤a，（0≤y≤a），
且x²+y²=a²．
所以PQ=2PB=2

1-x2

，
RS=2（

1-x2

+

1-y2

）．
所以PQ+RS=2（

1-x2

-

1-y2

）．
∴（PQ+RS）²=4（2-a²+2

1-a2+x2y2

）
而x²y²=x²（a²-x²）=-（x²-

a2

2

）²+

a4

4

．
當x²=

a2

2

時，
（x²y²）最大值=

a4

4

．
此時PQ+RS=

4(2-a2+2-a2)

；
當x²=0或x²=a²時，（x²y²）_最小值=0，
此時（PQ+RS）_最小值=2（1+

1-a2

）．