Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足是E，連接DE交AC于F．

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）求證：DF∥AB，DF＝；

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形，簡述你的理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ADCE為正方形．見解析

【解析】

（1）先根據AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根據AE是△ABC的外角平分線，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四邊形ADCE為矩形；
（2）根據四邊形ADCE是矩形，可知F是AC的中點，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中點，故DF是△ABC的中位線，即DF∥AB，DF=AB；
（3）根據矩形的性質可知當△ABC是等腰直角三角形時，則∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性質定理可知對應邊AD=CD．再運用鄰邊相等的矩形是正方形．問題得證．

證明：如圖

（1）∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，

∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5，

∴∠1＝∠2，

∵AE是△ABC的外角平分線，

∴∠3＝∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2+∠3＝90°，

即∠DAE＝90°，

又∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

又∵CE⊥AE，

∴∠AEC＝90°，

∴四邊形ADCE是矩形．

（2）∵四邊形ADCE是矩形，

∴AF＝CF＝AC，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝CD＝BC，

∴DF是△ABC的中位線，

即DF∥AB，DF＝．

（3）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ADCE為正方形．

∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC

∴∠5＝∠2＝∠3＝45°，

∴AD＝CD，

又∵四邊形ADCE是矩形，

∴矩形ADCE為正方形．