Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，有AB為斜邊的等腰直角三角形ABC，其中點A（0，2），點C（﹣1，0），拋物線y＝ax2+ax﹣2經過B點．

（1）求B點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線上是否存在點N（點B除外），使得△ACN仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，1） （2）y＝x2+x﹣2 （3）見解析

【解析】

（1）根據題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；

（2）根據拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；

（3）首先假設存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據全等三角形的性質，可得答案．

解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D．

∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，

∴∠BCD＝∠CAO，

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，

∴△BCD≌△CAO，

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴點B的坐標為（﹣3，1）；

（2）拋物線y＝ax2+ax﹣2經過點B（﹣3，1），

則得到1＝9a﹣3a﹣2，

解得a＝，

所以拋物線的解析式為y＝x2+x﹣2；

（3）假設存在點N，使得△ACN仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點N1，使得N1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACN1，

過點N1作N1M⊥x軸，

∵CN1＝BC，∠MCN1＝∠BCD，∠N1MC＝∠BDC＝90°，

∴△MN1C≌△DBC．

∴CM＝CD＝2，N1M＝BD＝1，可求得點N1（1，﹣1）；

②若以點A為直角頂點；

則過點A作AN2⊥CA，且使得AN2＝AC，得到等腰直角三角形△ACN2，

過點N2作N2P⊥y軸，同理可證△AN2P≌△CAO，

∴NP2＝OA＝2，AP＝OC＝1，可求得點N2（2，1），

③以A為直角頂點的等腰Rt△ACN的頂點N有兩種情況．即過點A作直線L⊥AC，在直線L上截取AN＝AC時，點N可能在y軸右側，即現在解答情況②的點N2；

點N也可能在y軸左側，即還有第③種情況的點N3．因此，然后過N3作N3G⊥y軸于G，同理：△AGN3≌△CAO，

∴GN3＝OA＝2，AG＝OC＝1，

∴N3（﹣2，3）；

經檢驗，點N1（1，﹣1）與點N2（2，1）都在拋物線y＝x2+x﹣2上，點N3（﹣2，3）不在拋物線上．