Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣2，0），點B（6，0），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是線段AB上的點，直線EM⊥x軸，設點E的橫坐標為t．

①當t＝6時（如圖1），點P為x軸下方拋物線上的一點，若∠COP＝∠DBM，求此時點P的橫坐標；

②當2＜t＜6時（如圖2），直線EM與線段BC，BD和拋物線分別相交于點F，G，H，試證明線段EF，FG，GH總能組成等腰三角形，如果此等腰三角形底角的余弦值為，求此等腰三角形的面積．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣2x﹣6；(2)①點P的橫坐標為2，②．

【解析】

（1）根據拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0），利用交點式可確定拋物線解析式；
（2）①過點D作DN⊥BM于N，過點P作PK⊥y軸于K，先求tan∠DBN，再根據題意∠COP=∠DBM，即tan∠COP=tan∠DBN，可求點P的橫坐標；
②待定系數法求得：直線BC的解析式為y=x-6，直線BD的解析式為y=2x-12，表示出F，G，H的坐標，即可證明：線段EF，FG，GH總能組成等腰三角形，再計算由線段EF，FG，GH組成等腰三角形的面積．

解：（1）根據拋物線y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0），

設拋物線解析式為y＝（x+2）（x﹣6），

即y＝x2﹣2x﹣6；

（2）①如圖1，過點D作DN⊥BM于N，過點P作PK⊥y軸于K，

則∠BND＝∠OCP＝90°

∵y＝（x﹣2）2﹣8

∴D（2，﹣8），B（6，0），N（6，﹣8），

∴tan∠DBN＝＝＝，

∵∠COP＝∠DBM，

∴tan∠COP＝tan∠DBN＝，

設P（m，﹣2m﹣6），則KP＝m，OK＝﹣（﹣2m﹣6）

∴，解得：m1＝﹣2（不符合題意，舍去），m2＝2，

∴點P的橫坐標為2，

②如圖2，∵B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣6，直線BD的解析式為y＝2x﹣12，

∵E（t，0），

∴F（t，t﹣6），G（t，2t﹣12），H（t，﹣2t﹣6）

∴EF＝6﹣t，FG＝t﹣6﹣（2t﹣12）＝6﹣t，GH＝2t﹣12﹣（﹣2t﹣6）＝﹣+4t﹣6，

∴EF＝FG

∵EF+FG＝12﹣2t，EF+FG﹣GH＝12﹣2t﹣（﹣+4t﹣6）＝﹣6t+18＝，

∴當2＜t＜6時，＞0，即EF+FG＞GH

∴線段EF，FG，GH總能組成等腰三角形，

如圖3，△RTS中，設RT＝RS＝6﹣t，TS＝﹣+4t﹣6，作RL⊥TS于L，則∠RLT＝90°

∵RT＝RS，RL⊥TS

∴TL＝TS＝﹣+2t﹣3

依題意有cos∠RTS＝，即＝

∴2（6﹣t）＝3（﹣+2t﹣3），解得：t1＝6（不符合題意，舍去），t2＝ ，

∴TL＝，TS＝，RT＝

∴RL＝

∴S△RTS＝TSRL＝××＝．

∴線段EF，FG，GH組成的等腰三角形的面積為：．