Question

【題目】如圖，矩形OABC中,點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=4,OC=2.點P（m,0）是射線OA上的動點，E為PC中點，作□OEAF，EF交OA于G，

（1）寫出點E,F的坐標（用含m的代數式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).

（2）當線段EF取最小值時，m的值為______;此時□OEAF的周長為______.

（3）①當□OEAF是矩形時，求m的值.

②將△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF與△AEF重疊部分的面積為1時，m的值為 .

Answer 1

【答案】（1）（，1），（4-，-1）；（2）4；4；（3）①m=4±2，②2或6.

【解析】

（1）根據中點坐標公式和對稱性，分別求出點E、F的坐標.

（2）由題意當EF⊥OA時，線段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四邊形OEAF的周長.

（3）①分情況討論：當點P在線段OA上時，如圖1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的長，然后求出OP的長；當點P在OA延長線上時， 先求出OH，然后求出OP的長即可；②分兩種情況：當點P在線段OA上時，先證△AEF為直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；當點P在OA延長線上時，先證△AFE為直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值.

（1）∵C(0,2),P(m,0),由中點坐標公式，得點E的坐標為(,1)，由F和E關于點G對稱，可得F的坐標為(4-,-1).

故答案為：(,1)，(4-,-1).

（2）當EF⊥OA時，此時EG最小,則EF最小.此時點P與A重合，m=4,易知，四邊形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=，四邊形OEAF的周長為4，

故答案為：4，4

（3）作EH⊥x軸于點H,

當點P在線段OA上時，如圖1，

Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,則HG=

∴OH=2-

∴m=OP=4-2

當點P在OA延長線上時,如圖2，

∴OH=2+

∴m=OP=4+2

綜上所述，m=4 ±2

②分兩種情況：

Ⅰ：當P在線段OA上時，如圖，

∵OEAF是平行四邊形，

∴AG=OA=2,

又E ()

∴

∵折疊后與重合

∴

又OF∥AE,

∴

∴

∴EH=FH

又G為EF中點

∴HG⊥EF

∵

∴

∴

∴HE=AH

∴HE=AH=HF

∴△AEF為直角三角形，∠AFE=90°

∴∠OEG=90°

∴+=

∴+++=

解得=2

Ⅱ、當P在OA的延長線上時，如圖

同理可證，EH=FH=AH,

∴∠AEF=90°

∴△AEG為直角三角形,

∴+=

∴+++=

解得=6

綜上所述，m=2或6

故答案為：m=2或6