Question

【題目】（1）如圖 1，已知正方形 ABCD，點 E 在 BC 上，點 F 在 DC 上，且∠EAF=45°，則有 BE+DF= .若 AB=4，則△CEF 的周長為 .

（2）如圖 2，四邊形 ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，點 E，F 分別在 BC，CD 上，且∠EAF=45°，試判斷 BE，EF，DF 之間的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）EF，8；（2）EF=BE+DF.

【解析】

（1）延長EB至H，使BH=DF，連接AH，證△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根據全等三角形的性質得出EF=HE=BE+HB進而求出即可；

（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案．

（1）延長EB至H，使BH=DF，連接AH，如圖1，

∵在正方形ABCD中，

∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，

在△ADF和△ABH中，

∵，

∴△ADF≌△ABH（SAS），

∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，

∴∠FAH=90°，

∴∠EAF=∠EAH=45°，

在△FAE和△HAE中，

∵，

∴△FAE≌△HAE（SAS），

∴EF=HE=BE+HB，

∴EF=BE+DF，

∴△CEF的周長=EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD=2AB=8．

（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM，如圖2，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=∠C=90°，∠EAF=45°，

即∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中，

，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．