Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止.

（1）如圖2，在旋轉中發現當PM經過點A時，PN也經過點D，求證：△ABP ∽△PCD

（2）如圖3，在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由

（3）設AE，連結EF，則在旋轉過程中，當為何值時，△BPE與△PEF相似.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的值是定值，該定值為 ；（3）當或時，△BPE與△PEF相似

【解析】

（1）因為在矩形中，所以只要再證明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過點F作FG⊥BC于G，創造△PGF并證明其與△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反證相似.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°

∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD

∴△ABP ∽△PCD

（2）過點F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°

易知四邊形ABGF是矩形，

∴FG=AB=2

∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG

∴△EBP ∽△PGF

∴

∴的值是定值，該定值為

（3）∵AE

∴BE

①當時，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PFE

∴

∴

∴

②當時，

∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE ∽△PEF

∴

∴

∴

綜上，當或時，△BPE與△PEF相似.