Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)（不與A．B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)O，A，E的⊙I交AD于F，AB＝5

（1）求⊙I的直徑的取值范圍；

（2）若⊙I的半徑為2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)⊙I的直徑＜5;(2).

【解析】

（1）當(dāng)OE⊥AB時(shí)，⊙I的直徑值最小，當(dāng)OB⊥AO時(shí)，⊙I的直徑值最大；

（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)I在AO同側(cè)，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，解直角三角形求AH和HE即可.

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)I在AO異側(cè)，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB, 解直角三角形求AH和HE即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝BC＝5，AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠BAC＝45°，

∴AC＝BD＝5，AO＝BO

當(dāng)OE⊥AB時(shí)，⊙I的直徑的最小值為

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，即OE⊥OA時(shí)，⊙I的直徑的最小值為5

∴⊙I的直徑＜5

（2）當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)I在AO同側(cè)，如圖，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB

∵OH⊥AB，∠BAO＝45°

∴AH＝HO

∵IF⊥AO

∴AF＝FOAO，∠AIO＝2∠AIF

∴IF

∵∠AIO＝2∠AEO

∴∠AEO＝∠AIF

∴tan∠AEO＝tan∠AIF

∴

∴HE

∴AE＝AH+HE

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)I在AO異側(cè)，如圖，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB

同理可求AH，HE

∴AE