Question

觀察下列各圖：

（1）第1個圖中有1個三角形，第2個圖中有3個三角形，第3個圖中有6個三角形，第4個圖中有

 

個三角形，…，根據這個規律可知第n個圖中有

 

個三角形（用含正整數n的式子表示）；
（2）問在上述圖形中是否存在這樣的一個圖形，該圖形中共有25個三角形？若存在，請畫出圖形；若不存在請通過具體計算說明理由；
（3）在下圖中，點B是線段AC的中點，D為AC延長線上的一個動點，記△PDA的面積為S₁，△PDB的面積為S₂，△PDC的面積為S₃．試探索S₁、S₂、S₃之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）第一個圖中三角形的個數為1；
第二個圖中三角形的個數為3=1+2；
第三個圖中三角形的個數為6=1+2+3；
…
第n個圖中三角形的個數為1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
當n=10時，可計算出第10個圖中三角形的個數．
（2）令

n(n+1)

2

=25，看n是否有正整數解即可．
（3）由于B是AC中點，則△PAB和△PBC等底同高，故S_△PBA=S_△PBC，由此可得出S₁+S₃=2S₂．

解答：解：（1）10；

n(n+1)

2

；

（2）不存在（法一）當n=6時，三角形的個數為

6×(6+1)

2

=21；
當n=7時，三角形的個數為

7×(7+1)

2

=28；
所以不存在n使三角形的個數為25．
（法二）由

n(n+1)

2

=25，得n（n+1）=50，而不存在兩個連續整數的乘積為50，
所以不存在n使三角形的個數為25．

（3）S₁+S₃=2S₂．
∵點B是線段AC的中點，
∴AB=BC，
∴S_△PAB=S_△PBC，
∴S₁+S₃=2S₂．

點評：本題考查的是規律性問題以及三角形面積的求法；解答規律型問題時，通常是根據簡單的例子找出一般化規律，然后根據規律去求特定的值．